POLİNOM

Tarih 01 Haziran 2009

POLİNOM i. (fr. polynome). Mat. Bk. ANSiKL. || Polinom fonksiyon, bir cisim veya değişli bir halka içinde, bu cisim ve­ya halkadaki bir x elemanının, oransal ve tam bir ifade ile tanımlanan f uygulaması. || Biçimsel polinom, bir cisim veya daha genel olarak değişli bir halka içinde belirli bir sıradan başlayarak hepsi sıfır olan te­rimler dizisi; işlemler bu dizilerin üzerin­den tanımlanır. (SOYUT POLiNOM da de­nir.)

— ANSiKL. Mat. Değişli olduğu düşünü­len bir halka içinde, bir P polinomu
P =(ao,a1,a2….an,0.0,….)
şeklinde yazılabilir. Bu kısaca [ai] şeklinde gösterilebilir, a0, a1, a2, … nicelikleri P polinomunun katsayılarıdır, her katsayının indisi, kendi sırasının bir büyüğüne eşittir. Sıfır olmayan bir tek an katsayısı vardır ve bundan sonra gelenlerin hepsi sıfırdır; n’ye P’nin derecesi denir. İki polinom aynı sıradan alınmış aynı katsayılardan meydana gelmişse birbirine eşittir. Bir tek katsayı sıfırdan farklı ise, polinom bir birterimli olur. iki polinomun toplamı aynı sıradaki kat­sayıları toplanarak elde edilir; toplam po­linomun derecesi, en çok bu iki polinomdan birinin derecesine eşit olur; bir halka veya bir cisim üzerindeki polinomların cümlesi toplama için değişli bir gruptur; etkisiz elemanın (sıfır polinom) bütün kat­sayıları sıfırdır.

Bir polinomu bir skalerle çarpmak için, katsayılardan her biri bu skalerle çarpılır: X [ai] = [Xai]. Bir cisim veya bir tamlık halkası için, XP çarpımının derecesi P’nin derecesine eşittir. Tamlık halkası olmayan bir halka için, bu derece P’ninkinden küçük olabilir; gerçekten, “Kan çarpımı, çarpan­lardan hiç biri sıfır olmasa da sıfır olabi­lir. Bir cismin üzerindeki polinomlar cüm­lesi vektör uzayı yapısına sahiptir; sıfır ol­mayan ai ve bj katsayılı iki birterimlinin çarpımı, ai bj katsayıları sıfır olmayan, i + j dereceden bir birterimlidir. îki [ai] ve [bj] polinomunun çarpımı, ok katsayısının değeri €ai bj olan bir polinomdur; toplam i + j = k bağıntısını veren katsayılar üzerinden alınmıştır. Çarpımın derecesi en çok iki polinomun dereceleri toplamına eşit olur. Bir cisim veya bir tamlık halkası söz konusu ise, çarpımın derecesi yine iki po­linomun dereceleri toplamına eşittir. Bir A halkası üzerindeki polinomların cümlesi de bir halka, yani A üzerindeki polinomlar halkasıdır. Bir K cismi içinde, X= (0,1,0,-0,…) polinomu göz önüne alınırsa

X2 = (0,0,1,0), X3 = (0,0,0,1,0…) v.b. el­de edilir ve P = (ao. aı, … an, 0,0, …) po­linomu
P = ao X° + aı X1 + a2 X2 + … + anXn şeklinde yazılabilir. X’e, K cismi üzerinde alınmış sayısal bir değer verilirse, P bir polinom fonksiyonu gösterir.
R gerçek sayılar cismi ve C karmaşık sa­yılar cismi içinde, x’in her değeri için, ay­nı sayısal değeri alan iki polinom özdeştir; bunların indirgenemez polinomların çarpı­mı halinde ayrılışı ancak bir şekilde müm­kündür; C cismi halinde, bu işlemden d’Alembert teoremi çıkar: n’inci dereceden bir polinomun n kökü vardır. Fakat bu özellik genelleştirilemez: meselâ, modülo p uygunluklarının Z/p cismi içinde (p asal bir sayı olmak üzere) farklı iki polinom, de­ğişkenin bütün değerleri için aynı sayısal değeri alabilir. Çok değişkenli polinomlar hali, katsayılarında birçok indis bulunan biçimsel polinomlar yardımıyle incelenir. (L)